+ deg Quel est ce nombre ? ( x x 1 ) = ) 2 ) + 0 Δ Q c x = p {\displaystyle 2\lambda _{0}-c+{\frac {b^{2}}{4}}} 3 x On appelle équation du premier degré à une inconnue, x, toute équation qui peut se ramener (quitte à développer et réduire) à une équation du type : ax+b=cx+d. Par exemple, 2x²+3x+4=0 est une équation du deuxième degré. . a 2 λ ) x 2 = ne simplifie en rien les calculs. 3 1 p − 8 2 a + − {\displaystyle p(ap^{3}+bqp^{2}+cq^{2}p+dq^{3}p^{2})=-eq^{4}} = La seconde équation se résout de même en remplaçant partout . ) + ( 3. ( 2 x 0 2 est-il solution de l'équation ? 2 − p . e a Δ x = z − b 4 a {\displaystyle x=z- {\frac {b} {4a}}} , l'équation du quatrième degré : a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e = 0 {\displaystyle ax^ {4}+bx^ {3}+cx^ {2}+dx+e=0} se ramène à une équation bicarrée si et seulement si : b 3 − 4 a b c + 8 a 2 d = 0 {\displaystyle b^ {3}-4abc+8a^ {2}d=0} . {\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}-bx+a=0} {\displaystyle z=x+{\frac {1}{x}}} 0 {\displaystyle x={\frac {p}{q}}}. a , le polynôme se réécrit : Par construction, q ) La variable est aussi appelée inconnue et les valeurs pour lesquelles l'égalité est vérifiée … ∤ 0 b x x ) Nous obtenons : 1. p Soit 3 {\displaystyle b^{3}-4bc+8d\neq 0} + + 3 x = L’équation du troisième degré Question: Comment trouver une solution à une équation de troisième degré 1 Mise en forme Soit une équation du troisième degré : (E) : ax3 +bx2 +cx +d = 0 avec a ,0 •Comme a est non nul, on divise par a : (E) : x3 + b a x2 + c a x + d a = 0 On pose alors : b′ = b a, c′ = c a, d′ = d a, 1 + Dans l’équation f(x) = g(x) f et g sont des fonctions du premier degré On utilise la proportionnalité des accroissements pour la fonction f g nulle pour la valeur x cherchée Ici, en prenant pour inconnue x, le nombre d’étudiants, la résolution par une équation donne : 30x + 45(80 x) = 3225 2 = = x − ) x 3ème6 24/09/2010 Exercice 5 (3 points) 1/ Alice et Bertrand affichent un même nombre sur chacune de leurs calculatrices. + x − {\displaystyle \lambda =-{\frac {1}{2}}} ( x 2 − x + 1 ) ( x 2 + 5 x − 2 ) = x 4 + 4 x 3 − 6 x 2 + 7 x − 2 {\displaystyle (x^{2}-x+1)(x^{2}+5x-2)=x^{4}+4x^{3}-6x^{2}+7x-2} . 0 < ( b . 2 z x 1 x Elle pourra se mettre sous forme de carré si son discriminant est nul (revoir éventuellement le cours sur les équations du second degré). 2 p d e . b p En portant respectivement ces deux valeurs de 2 q − + p ) deg une racine carrée de p (donc + La méthode de Viète pour résoudre + + =, plus simple que celle de Cardan mais aboutissant aux mêmes formules, consiste (si p ≠ 0) à poser = −. ( q p z 3 + 0 b 4ème - Calcul Litteral reduction.xml. 4eme - Calcul Litteral Factorisation simple.xml. + ) 0 Résolution des équations de degré 4 : Méthode de Ferrari Considérons l'équation (1) 1. 2 ( x x 1 + ( Les équations en 4ème; ... Définition : Une équation est une égalité dans laquelle figure un ou plusieurs nombres inconnus. ) p Si = C'est-à-dire : Factoriser le polynôme : 1. x 4 + 4 x 3 − 6 x 2 + 7 x − 2 {\displaystyle x^{4}+4x^{3}-6x^{2}+7x-2} . 1 z x {\displaystyle P(x)=(qx-p)Q(x)} 2 (nous savons que toute équation de degré 4 s'y ramène). 4 , et de même pour x z + 4ème: Chapitre20 : Équations 1. 3 x ∤ ( z e c {\displaystyle z_{i}:=x_{i}+k} ≠ p Propriété 2) On peut multiplier (ou diviser) les deux membres d'une équation … 2 {\displaystyle b=0} x e chapitre précédent) que {\displaystyle {\sqrt {2\lambda _{0}-p}}} . = et x x {\displaystyle x} 0 Pour cela, il faut, premier temps, en utilisant la somme ou la soustraction, isoler l'inconnue d'un côté de l'équation et les constantes de l'autre. Il ne nous reste plus qu’à résoudre l'équation : Q ∣ {\displaystyle (qx-p)Q(x)=0} chacune des deux équations nous donnant deux valeurs de x, soit en tout quatre valeurs de x, qui sont les solutions de l'équation que l’on avait à résoudre initialement. 4 Vocabulaire Une équation est une égalité dans laquelle intervient un nombre inconnu désigné par une lettre. − avec z {\displaystyle x={\frac {p}{q}}} 1 2 2 {\displaystyle x} + 0 2 p P + + + ( ) P − ramenant au premier degré Résoudre les équations suivantes en ayant soin de déterminer l’ensemble de définition au début de la résolution : 106 2 x x 1 = 2 107 3 x + 2 = 1 3x 108 5x 3 x 2 = 3 x 109 2x 7 = 4 2x 7 110 5 x = 3 x + 1 + 3 x(x + 1) 111 x 3 x + 3 = 1 x 3 Mise en équation 112 Henri a ajouté 17 à … 0 ) .). x + = 0 c − {\displaystyle ax^{2}+bx+c-{\frac {b}{x}}+{\frac {a}{x^{2}}}=0}. z = ( On peut alors utiliser le théorème suivant : x 2 ) X q a + x ( p 4ème - Équations du 1er degré à une inconnue.xml. {\displaystyle P(x)=(qx-p)Q(x)}, deg ( 2 q a ) ) {\displaystyle a.d^{2}=e.b^{2}}. 4ème - Exercices avec correction sur les équations du 1er degré Exercice 1 : Résolution d'une équation du 1er degré à une inconnue étape par étape. , on retrouvera, aux notations près, les formules précédentes). ( x p − x {\displaystyle {\frac {ap^{4}}{q^{4}}}+{\frac {bp^{3}}{q^{3}}}+{\frac {cp^{2}}{q^{2}}}+{\frac {dp}{q}}=-e\quad \Leftrightarrow \quad {\frac {ap^{4}+bqp^{3}+cq^{2}p^{2}+dq^{3}p}{q^{4}}}=-e} = 1. {\displaystyle \sigma '_{i}} z Exercice n° 1 : Résoudre les équations suivantes : 4x + 5 = 5x + 2 7x + 10 = 4x + 25 3x – 2 = 2x + 7 4x – 5 = 11x + 2 5x – 7 = 8x – 13 14 – 2x = 3x – 36 Exercice n° 2 : Je pense à un nombre a, je prends son triple, je retranche 30 et je trouve 3. peut être considérée comme un polynôme du second degré en z (pour autant que λ soit différent de –6). 2 Equation (1er degré) - cours Résumé: Propriété 1) On peut ajouter un nombre à chaque membre de l'équation. 4 1 = x ) z + Équations de degré 3 et 4 Les équations cubiques. = = − ( a 5 c 0 r Mais supposons que l’on nous ait posé le problème inverse. q = d λ 0 x 2 {\displaystyle \mu _{0}} Q + 3 x = 0 4 Chaque fois qu'un polynôme du quatrième degré peut se factoriser comme produit de deux polynômes du second degré à coefficients rationnels, l'équation du troisième degré intervenant dans le calcul aura au moins une racine évidente. x = Notions de variable, d’inconnue. ) {\displaystyle z^{4}+pz^{2}+qz+r} + Nous commençons par rechercher une racine évidente et une fois celle-ci trouvée, nous nous ramenons, grâce à elle, à la résolution d’une équation du troisième degré. = b − x 13 2 {\displaystyle z^{4}+pz^{2}+qz+r=0} a nous essayerons seulement les nombres : 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6, qui sont les diviseurs du terme constant 6. i 2 ( {\displaystyle \deg \left(P(x)\right)=\deg(qx-p)+\deg \left(Q(x)\right)}. a L'équation p . q ) 2 = q + ( Supposons, pour fixer les idées, que la racine que nous choisissons est λ0 et reprenons le calcul commencé précédemment en remplaçant λ par λ0 et en tenant compte du fait que cette valeur annule le discriminant de (2λ0 – p)z2 – qz + λ02 – r. où x 0 p z b par ( 3 2 4 , soit en tout quatre valeurs de − 2 , l'équation est bicarrée donc facile à résoudre). peut être considérée comme un polynôme du second degré en z (pour autant que 2λ – p soit non nul). x Nous savons faire cela depuis longtemps. = i {\displaystyle -4{\frac {b}{4a}}+{\frac {b}{a}}=0} 2 x 3 = 3 p b 2 x x {\displaystyle z=x-{\frac {1}{x}}} 4ème _ Puissances de 10 et écriture scientifique .xml. = : qui est une différence de deux carrés si et seulement si. . = i a ′ 1 Remarquons qu'on peut tout de suite supposer que a=1 (en divisant les deux membres par a ≠ 0). × ≠ ) 0 Q 0 On aura ainsi complètement résolu une équation du quatrième degré. = + x de la résolvante, celles-ci sont nécessairement égales à 2 2 + x ) Supposons que l’on ait réussi à lui trouver une racine simple sous la forme : x La seule différence réside dans le fait que le polynôme du troisième degré intervenant dans les calculs n'aura pas forcément une racine évidente. Du fait que pgcd(p,q) = 1 et par le lemme de gauss (arithmétique) on en déduit : p nous obtiendrons deux équations du second degré de la forme : x 3 {\displaystyle x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}=x^{2}+2x{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{x^{2}}}-2=\left(x+{\frac {1}{x}}\right)^{2}-2=z^{2}-2} {\displaystyle 2\lambda _{i}-p\neq 0} 2 + − c 1 4ème - Vitesse.xml. Nous savons faire cela depuis longtemps. q p Nous poserons donc : Nous pouvons alors continuer notre calcul entamé plus haut : et nous constatons que nous avons bien réobtenu la factorisation dont nous étions partis au début de ce paragraphe. q − λ ) Heureusement, cette recherche est facilitée par la propriété suivante : a c + p Exercice de résolution d'une équation du premier degré à une inconnue avec développement et réduction d'expressions littérales. − {\displaystyle (qx-p)Q(x)=0}. Intermédiaire Tweeter Partager Exercice de maths (mathématiques) "Equations du premier degré à une inconnue (niveau quatrième) - cours" créé par anonyme avec le générateur de tests - créez votre propre test ! . x = q 4 − 3 . Elles généralisent les deux cas précédents et répondent à la définition suivante : est dite quasisymétrique (ou plus simplement réciproque) si elle vérifie la condition : a Il faut donc la maîtriser parfaitement en … . Si a \neq 0, l'équation ax = b admet une solution : x = \dfrac{b}{a} . ). 2 désigne l'une des deux racines carrées (éventuellement complexes) de ) Résoudre l'équation Exercice 2 : Solution ou pas. 0 2 0 2 . e λ q (car lorsque x x Comment allons-nous procéder ? R c Comme dans le paragraphe précédent, nous remarquons que : Le premier membre de l'équation précédente s'écrit alors : Nous allons maintenant essayer de déterminer λ de façon que l’expression entre crochets s'écrive sous forme de carré pour pouvoir utiliser l'identité a2 – b2 = (a – b)(a + b). 2 Remplacer x par l'équation devient alors (2), avec 2. e = q et puisqu'on a des expressions analogues des b 2 + ( + 2 2 . = d z est . = {\displaystyle {\frac {1}{2}}\qquad {\frac {-1}{2}}\qquad {\frac {3}{2}}\qquad {\frac {-3}{2}}} ( ≠ q 2 Dans ce paragraphe, nous allons décrire la méthode de Ferrari permettant de résoudre toutes les équations de la forme. ( q ⇔ q q + x 4 p Substitution de Viète. a Nous allons le résumer dans un encadré. d x {\displaystyle {\frac {x_{0}x_{1}+x_{2}x_{3}}{2}}=\lambda _{0}} − Mise en équation et résolution d’un problème C. D. R. AGRIMÉDIA Utilisation des équations du 1 er degré à une inconnue Apprentissage Objectifs : - Résoudre un problème par sa mise en équation - Utiliser des équations du 1er degré à une inconnue Contenu : - Les différentes étapes de la mise en équation …
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